Jordklotet och kartan

Att avbilda en sfär på en plan yta är ett problem som egentligen inte har någon lösning. Försöker man plana ut vår planet så förvanskas bilden, hur man än gör. Men det finns metoder där de platta ­projektionerna av planeten är optimala för vissa ändamål.
Trots det blir det alltid en kompromiss. En karta kan aldrig vara ytriktig, vinkelriktig och avståndsriktig på samma gång. Man får välja det som är viktigast.

Länge har vi ritat kartor och länge har vi förstått att vi lever på ett klot. I början ritade man primitiva kartor, grundade på både mätningar och fantasier. Men med tiden blev kartorna allt riktigare, tack vare upptäcktsresor och en alltmer utvecklad matematisk och geometrisk förståelse.

Den grekiske matematikern Pytagoras som levde på 500-talet f.Kr. insåg jordens klotform bland annat genom att studera himlen och stjärnornas rotation kring jorden. Ett par hundra år senare hävdade astronomen Aristarchos att jorden var ett klot som kretsade kring solen. Men han fick då inte mycket gehör för dessa idéer. Det var först under sena 1600-talet denna idé blev mer allmänt accepterad och så sent som år 2000 upphävde katolska kyrkan sin dom mot Galileo Galilei för hans heliocentriska lära.

Fixpunkter på ett klot

I rymden finns inget upp och inget ned. Om vi närmar oss jorden i en rymdfarkost kan vi få se klotet ur vilket perspektiv som helst. Vi kan ­förmodligen inte uppfatta rotationsaxeln och banan kring solen. Vi ser bara ett klot, fritt ­svävande i rymden.

Om vi ska kunna orientera oss på detta klot måste vi bestämma några utgångspunkter som vi alla kan vara överens om. Det första vi kan notera är att jorden har en rotationsaxel. Rotationsaxelns båda poler kan då vara bra att utgå ifrån. Vi kan också notera att jorden har en midja som vi ­kallar ekvatorn. ­Sedan bestämmer vi väderstreck – väster, öster, norr och söder. Vi kommer överens om att norr är uppåt på jordklotet och att söder är nedåt. Då är öster åt höger och väster åt vänster.

Nästa steg är att dela upp klotets yta i ett rutsystem eller ett koordinatsystem med siffror som anger värdet på de olika linjerna som korsar varandra på denna sfär.

Världskarta från 1689 framställd av kartografen Gerard van Schagen i Amsterdam. Då hade man inga satelliter eller ens tillförlitliga mätningar att lita på. Riktigt var Nya Holland (idag Australien) slutade var till exempel okänt.

Världskarta från 1689 framställd av kartografen Gerard van Schagen i Amsterdam. Då hade man inga satelliter eller ens tillförlitliga mätningar att lita på. Riktigt var Nya Holland (idag Australien) slutade var till exempel okänt.

På en plan yta brukar vi rita vinkelräta koordinatsystem med en vågrät x-axel och en lodrät ­y-axel och anger avståndet till origo (punkten där de båda axlarna korsar varandra) med positiva siffror åt höger och uppåt, respektive negativa ­siffror åt vänster och nedåt. Ett sådant kallas för ett ­kartesiskt koordinatsystem efter den franske filosofen och matematikern Descartes.

Men på en sfär är koordinatsystemet inte riktigt lika enkelt. Vi måste då skapa ett speciellt sfäriskt koordinatsystem.

Ett sfäriskt koordinatsystem beskriver koordinaterna med hjälp av vinklar från klotets medel­punkt. Vinklarna mot norr och söder kallas latituder. Latitudvinkeln mot ekvatorn har i detta system gradtalet noll. Nordpolen ligger 90 grader uppåt och sydpolen 90 grader nedåt. Mellersta Sverige ligger ungefär på latitudvinkeln 60 grader, alltså två tredjedels väg från ekvatorn till nord­polen.

Nollmeridianen

I öst-västlig riktning delar man in ett varv kring ­jorden i 360 grader, alltså vinkelsumman för en hel cirkel. Dessa vinklar, mätta från jordens medel­punkt, kallas longituder. Linjerna med lika longitudvinkel går från pol till pol och kallas ­meridianer. Det finns dock ingen naturlig meridian att utgå ifrån, så man måste komma överens om var nollmeridianen ska gå någonstans. För länge sedan tänkte man att den gick längst ut på El Hierro, den västligaste av Kanarieöarna. Det var den närmaste landpunkten man kände till mot världens ände, som man ansåg ligga lite längre västerut i havet. Den stora sjöfartsmakten Storbritannien använde dock observatoriet i Greenwich i London som utgångspunkt för sin nollmeridian, och mot slutet av 1800-talet var det den mest använda. 1884 togs ett internationellt beslut om att denna nollmeridian var den som skulle gälla. Undantaget var fransmännen som inte ville ge upp den nollmeridian de hade utanför Louvren.

Longitudvinkeln från jordens medelpunkt till linjen som går genom Greenwichobservatoriet är lika med 0 grader. Sedan räknar man longitud­graderna i en halvcirkel mot öster, där longituden 180 grader ost ligger längst bort. På samma sätt räknar man longitudgrader åt väster, där longitud 180 grader väst möter 180 grader ost i en och samma latitudlinje.

Med utgångspunkt från latitud- och longitudvinklarnas gradtal kan man bestämma positionen för vilken plats som helst på jorden. För att kunna vara mer exakt delar man upp varje grad i 60 minuter och varje minut i 60 sekunder. Varje latitudsekund motsvarar en sträcka på 30,87 ­meter, och varje latitudminut är 1 852 meter – alltså en nautisk mil.

Åreskutans topp har till exempel koordinaterna nord 63 grader 25 minuter 54,3 sekunder, ost 13 grader 5 minuter 38,2 sekunder i detta system.

I rymden finns inget upp och inget ned. Bild: Nasa

I rymden finns inget upp och inget ned. Bild: Nasa

En platt sfär

Så långt är allt gott och väl, vi behöver bara en jordglob med sfäriska koordinater för att orientera oss på jorden. Men en jordglob är inte så praktisk att handskas med, speciellt inte om man ska ut på en resa eller om man vill ha en kartbild i stor skala över till exempel en del av Sverige. Då är det mer lämpligt att avbilda jorden på en plan pappersyta.

Att överföra en sfärisk yta till en plan yta är inte lätt. Man kan likna det vid att skala av en clementin, vilka är lättskalade och med lite försiktighet kan man få av hela skalet i ett sammanhängande stycke. Om man plattar till skalet på en bordsyta, har man en godtycklig plan avbildning av en nära sfärisk yta. Men de ursprungliga avstånden och vinklarna stämmer inte överens med det tillplattade skalet. Bilden av clementinen har förvanskats. Om vi skulle skala av jorden på ett liknande sätt, kommer också bilden av jordytan att förvanskas. Men en clementin är inte något helt runt klot, den är lite tillplattad vid ”polerna” och kallas för ellipsoid. Jorden är också en ellipsoid, lite tillplattat vid nord- och sydpolen.

Om man jämför jordens diameter vid ekvatorn med diametern från pol till pol, så finner man att avståndet från pol till pol är 43 kilometer kortare. Om jorden vore en boll med en meters diameter, skulle den tillplattningen motsvara ungefär tre milli­meter på bollen. Den skillnaden kan man bortse från när man gör jordglober eller kartor i liten skala som till exempel världskartor i skala 1:20 miljoner (en centimeter på kartan är 20 miljoner cm = 2 000 kilometer i verkligheten). Men när det gäller mer storskaliga kartor, som topografiska kartan över Sverige i skala 1:50 000 (en centimeter på kartan är 500 meter i verkligheten) är det faktiskt viktigt att ta hänsyn till jordens ­ellipsoida form för att få avstånden att stämma i den omfattning som krävs för en noggrann karta.

Den amerikanske matematikern och kodexperten Edgar N Gilbert skapade under 1970-talet en jordglob som såg ut så här och ställde den på ett bord i sitt kontor. När folk kom på besök brukade han ibland fråga vad som var fel med den här jordgloben. Om de inte kunde säga vad det var vred han på globen och visade en tom baksida. Även när han gjorde så var det en del som inte kunde svara på vad det var för fel på globen. Projektionen på hans glob är en visuell illusion eftersom hela jorden är avbildad på halva jordgloben. Det är en kombination av två olika sätt som vi är vana att se världen – dels som en glob, dels som en karta över hela världen.

Den amerikanske matematikern och kodexperten Edgar N Gilbert skapade under 1970-talet en jordglob som såg ut så här och ställde den på ett bord i sitt kontor. När folk kom på besök brukade han ibland fråga vad som var fel med den här jordgloben. Om de inte kunde säga vad det var vred han på globen och visade en tom baksida. Även när han gjorde så var det en del som inte kunde svara på vad det var för fel på globen. Projektionen på hans glob är en visuell illusion eftersom hela jorden är avbildad på halva jordgloben. Det är en kombination av två olika sätt som vi är vana att se världen – dels som en glob, dels som en karta över hela världen.

Projektioner

Om man vill överföra jordens sfäriska yta till en plan yta använder man sig av en projektion. Det kan enkelt illustreras genom att placera en ljuskälla i medelpunkten av en genomskinlig jordglob med landkonturer inritade. Sedan lindar man ett papper som en cylinder kring ekvatorn. När lampan lyser kan man se en bild av jorden på papperet. Om man fixerar bilden och rullar ut papperet får man en cylindrisk projektion, som är en förvanskad bild av jordens yta.

I verkligheten använder man sig förstås inte av ljuskällor för att göra olika projektioner. Man gör istället mer eller mindre sofistikerade ­matematiska transformationer från det sfäriska koordinatsystemet till ett plant sådant. Valet av projektion beror på vad kartan ska användas till. Är det viktigast att ytornas storlek på de olika världsdelarna är jämförbara, eller är det viktigast att kompassriktningarna stämmer med verkligheten?

Den senaste tiden har det varit en rasande snabb utveckling när det gäller kartor, bland annat beroende på satelliter och allt kraftfullare datorer. Nu kan vem som helst, med hjälp av sin dator, gå in på jorden, välja en plats och zooma in detaljer på kartan. Med ett klick får man en detaljerad satellit­bild över området, där man kan se föremål som bilar och enstaka träd och ibland ännu finare detaljer. Vi kan klicka på en gata, vrida och vända oss i alla riktningar och studera husfasader och skyltar och människor på trottoarer.

Det är nog bara en tidsfråga innan ­högupplösta satellitbilder i realtid över jorden blir allmänt tillgängliga. Då kan vi se livebilder av rusningstrafiken, eller varför inte gasellhjordar som galopperar fram på savannen i ett moln av damm? 

Fakta: 
Projektioner
Mollweides projektion  Mollweide (1774–1825) var en tysk matematiker och astronom. Hans projektion är ytriktig, men inte vinkelriktig.

Mollweides projektion Mollweide (1774–1825) var en tysk matematiker och astronom. Hans projektion är ytriktig, men inte vinkelriktig.

 

Robinsons projektion Robinson (1915–2004) var en amerikansk geograf och kartograf. Hans projektion är en kompromiss som varken är ytriktig eller vinkelriktig. Men det är ett försök att visa jorden på en plan yta med optimal riktighet som kan vara tilltalande för många användningsområden.

Robinsons projektion Robinson (1915–2004) var en amerikansk geograf och kartograf. Hans projektion är en kompromiss som varken är ytriktig eller vinkelriktig. Men det är ett försök att visa jorden på en plan yta med optimal riktighet som kan vara tilltalande för många användningsområden.

 

Mercators projektion Mercator (1512–1594) var en nederländsk kartograf. Hans cylindriska projektion är vinkelriktig, men inte ytriktig.

Mercators projektion Mercator (1512–1594) var en nederländsk kartograf. Hans cylindriska projektion är vinkelriktig, men inte ytriktig.

 

Hur fel ytorna blir på en karta med Mercators projektion syns tydligt om man ritar ut cirklar på olika breddgrader.

Hur fel ytorna blir på en karta med Mercators projektion syns tydligt om man ritar ut cirklar på olika breddgrader.

 

Steve Watermans fjärilsprojektion En projektion av jorden på en polyeder (mångsidig kropp som omger jorden). Poly­edern är sedan utvecklad till en plan yta. Medelmeridianen är här lagd vid 20 grader väst för att minimera delning av kontinen­terna. Matematiskt och vackert – men riktigt vad man ska ha projektionen till är inte helt klart.

Steve Watermans fjärilsprojektion En projektion av jorden på en polyeder (mångsidig kropp som omger jorden). Poly­edern är sedan utvecklad till en plan yta. Medelmeridianen är här lagd vid 20 grader väst för att minimera delning av kontinen­terna. Matematiskt och vackert – men riktigt vad man ska ha projektionen till är inte helt klart.

 

Bromleys projektion Så här kan man också se jorden; Bromleys ytriktiga projektion. Här med Australien i mitten och Antarktis på toppen. En ovanlig vy av vår jord. Man ser tydligt hur havsytorna dominerar över landytorna.

Bromleys projektion Så här kan man också se jorden; Bromleys ytriktiga projektion. Här med Australien i mitten och Antarktis på toppen. En ovanlig vy av vår jord. Man ser tydligt hur havsytorna dominerar över landytorna.

Skala av en clementin
En clementin liknar, precis som jorden, en ellipsoid, en lite tillplattad glob.  Bild: L-G Nilsson/Skylight

En clementin liknar, precis som jorden, en ellipsoid, en lite tillplattad glob. Bild: L-G Nilsson/Skylight

En clementin har en form som liknar en ellip­soid (lite tillplattat klot). Om man vill se hela clementinens yta får man vrida och vända på den, och man kan inte se hela ytan samtidigt. Vill man det, så får man skala den. Om man är försiktig kan man få av hela skalet i ett enda stycke. Man kan sedan platta till skalet på en plan bordskiva – och då ser man hela clementinens yta.

Om man vill ha en bild av clementinens hela yta måste man skala av den och platta ut skalet på en plan yta. Men avstånd och vinklar stämmer då inte överens med det ursprungliga skalets. Bild: L-G Nilsson/Skylight

Om man vill ha en bild av clementinens hela yta måste man skala av den och platta ut skalet på en plan yta. Men avstånd och vinklar stämmer då inte överens med det ursprungliga skalets. Bild: L-G Nilsson/Skylight

Men det medför en kostnad att få möjlighet att se hela clementinskalet samtidigt. Det som en gång var den symmetriska ytan på en ellip­soid har nu en odefinierbar ­tvådimensionell form. Avståndet mellan två punkter har förändrats och vinklarna stämmer inte.
Om man gör samma sak med jordens yta får man också ett skal som har många brister när det gäller perfekt avbildning.

Om vi skalar av jorden på samma sätt som clementinen kan vi få ett godtyckligt skal, tillplattat på en plan yta. Men bilden visar faktiskt inte ett godtyckligt jordskal, utan en projektion som kallas Spilhaus Shoreline Map XIV. Den är ytriktig och kontinenterna är odelade. Oceanerna har ett minimum av delningslinjer.

Om vi skalar av jorden på samma sätt som clementinen kan vi få ett godtyckligt skal, tillplattat på en plan yta. Men bilden visar faktiskt inte ett godtyckligt jordskal, utan en projektion som kallas Spilhaus Shoreline Map XIV. Den är ytriktig och kontinenterna är odelade. Oceanerna har ett minimum av delningslinjer.

Tre kartprojektionsfamiljer
Normal och transversal cylindrisk projektion.

Normal och transversal cylindrisk projektion.

Cylindrisk projektion Det finns olika varianter på dessa projektioner. En normal cylindrisk projektion får man på en cylinder som lindas kring ekvatorn. Man kan också låta cylindern tangera en godtycklig meridian och då får man en transversal cylindrisk projektion. Alla andra godtyckliga orienteringar av cylindern kring jorden kallas snedaxliga cylindriska projektioner.

Cylindrisk projektion Det finns olika varianter på dessa projektioner. En normal cylindrisk projektion får man på en cylinder som lindas kring ekvatorn. Man kan också låta cylindern tangera en godtycklig meridian och då får man en transversal cylindrisk projektion. Alla andra godtyckliga orienteringar av cylindern kring jorden kallas snedaxliga cylindriska projektioner.

Det finns tre grundläggande projektioner när det gäller att överföra bilden av jordens sfäriska yta till en plan yta. Alla dessa tre kan genomföras praktiskt med hjälp av en ljuskälla och en bit papper. I verkligheten görs dessa och alla andra projektioner genom att matematiskt transponera det sfäriska koordinatsystemet till ett plant. De tre kartprojektionsfamiljerna är cylindrisk, konisk och asimutal projektion.

Ett åskådligt sätt är att tänka sig en lampa i mitten av en genomskinlig jordglob. Om man lindar ett papper kring jorden som en cylinder kring ekvatorn och tänder lampan kan man se en avbildning av sfären på en cylindrisk yta. Om man spar den bilden och vecklar ut pappret, har man gjort en plan karta över sfären med en cylindrisk projektion.

Asimutal projektion Den asimutala projektionen med ljuskällan i jordens medelpunkt kallas gnomisk asimutal projektion. Sätter vi lampan i sydpolen, får vi en stereografisk asimutal projektion. Om vi låter ljusstrålarna komma parallellt, som från en oändligt avlägsen ljuskälla, får vi en ortografisk asimutal projektion.

Asimutal projektion Den asimutala projektionen med ljuskällan i jordens medelpunkt kallas gnomisk asimutal projektion. Sätter vi lampan i sydpolen, får vi en stereografisk asimutal projektion. Om vi låter ljusstrålarna komma parallellt, som från en oändligt avlägsen ljuskälla, får vi en ortografisk asimutal projektion.

Tre perspektiv på asimutal projektion: gnomisk, stereografisk och ortografisk.

Tre perspektiv på asimutal projektion: gnomisk, stereografisk och ortografisk.

På liknande sätt kan man rulla pappret som en strut eller kon med spetsen över till exempel nordpolen och tända lampan för att få en konisk projektion. Ett tredje sätt är att lägga ett plant papper mot till exempel nordpolen, och låta lampan lysa så att vi får en projektion av norra halvklotet på papperet – en asimutal projektion.

Konisk projektion.

Konisk projektion.

Sfäriskt koordinatsystem
I det sfäriska koordinatsystemet anger man två vinklar från jordens medelpunkt till en plats på sfärens yta. Den ena vinkeln kallas latitud och räknas från ekvatorn till respektive pol. Den andra vinkeln kallas longitud och räknas i öst-västlig riktning från nollmeridianen, som är bestämd att gå genom Greenwich i London.

Andra perspektiv
Så här är vi inte vana att se jorden, men det är en karta som är lika korrekt som vilken annan projektion som helst. Kartan är gjord efter Toive Karlssons formler.

Så här är vi inte vana att se jorden, men det är en karta som är lika korrekt som vilken annan projektion som helst. Kartan är gjord efter Toive Karlssons formler.

Vi har vår världsbild från kartor. Vi vet till exempel hur Afrika ser ut och hur Asien ligger i förhållande till Amerika. Men alla tvådimensionella kartor är i någon mening godtyckliga.

Toive Karlsson i Stockholm är programmerare. Han började fundera på hur världskartan skulle se ut om man hade andra utgångspunkter än att nordpolen skulle vara upptill och sydpolen nedtill och ekvatorn en horisontell linje däremellan. Detta blev upprinnelsen till att han nu också är amatörkartograf.

Han hade dock inga andra ambitioner än att fundera på ett knepigt problem. Efter lite trigonometriskt tricksande kom han fram till en formel där man kan översätta vanliga longituder och latituder till nya – enkelt uttryckt att flytta kartprojektionens centralpunkt. Genom att stoppa in dessa formler i datorn fick han fram en världskarta som ser helt annorlunda ut än vad vi är vana vid.

Skärningen mellan nollmeridianen och ekvatorn är högst upp på kartan och denna punkt i Guineabukten, strax söder om Ghana, fick bli den nya ”nordpolen”. Den motsatta punkten på jorden, korsningen mellan 180-gradersmeridianen och ekvatorn, finns mitt i Stilla havet och motsvarar den nya ”sydpolen”. Den riktiga nordpolen ligger i mitten av kartan.

Resultatet blev en helt annorlunda världskarta, som är lika korrekt som någon annan av de vedertagna projektionerna vi är vana att se. Afrika ligger högst upp och det har blivit uträtat, men i verkligheten kröker det sig kring den nya ”nordpolen”. Sådana effekter får man också kring riktiga nordpolen och sydpolen i en vanlig cylindrisk Mercatorprojektion. Afrika har också blivit alldeles för stort i förhållande till Asien och även Amerika. Det är samma effekt som gör att Grönland blir lika stort som Afrika på en vanlig Mercatorprojektion. I verkligheten är Afrika 14 gånger större än Grönland.

Formlerna för koordinattransformationerna ser ut så här:

Nat = Arccos(Rot((sin(lat))2 +(sin(long)*cos(lat))2))
Nong = Arccos(sin(lat)/ Rot((sin(lat))2 +(sin(long)*cos(lat))2))
Där Nat är den nya latituden och Nong den nya longituden.

Så kan det gå när man inte har koll på kartprojektioner

I maj 2003 hade den välrenommerade brittiska tidningen The Economist en artikel om Nordkoreas missilprogram och presenterade i samband därmed en världskarta med olika missilers räckvidd. De ritade in dessa räckvidder som cirklar på en världskarta med Mercators projektion. Tidningens redaktörer hade missat att göra en ordentlig faktakoll innan de ritade dessa cirklar med radierna 1 300, 10 000 och 15 000 kilometer. Mercators cylindriska projektion är inte ytriktig och inte avståndsriktig i olika riktningar. De norra och södra delarna av jorden är kraftigt överdrivna i storlek i förhållande till ekvatorn. 10 000 kilometer åt alla håll från en punkt bildar alltså inte en cirkel.

Några dagar efter publiceringen och efter att flera av tidningens läsare hade hört av sig, presenterades de verkliga räckvidderna, som är sinusformade – och betydligt större än de ursprungligt publicerade. Hotet från Nordkorea blev plötsligt mycket större.

Naturligtvis var det pinsamt för den välrenommerade tidningen, men ett misstag som väldigt många skulle ha kunnat göra.

Material från
Allt om Vetenskap nr 6 - 2017

Mest lästa

Fler nyheter

Fler nyheter