Katedralen i Chartres

byggd på matematisk grund

Katedraler var medeltidens mest storslagna byggnadsprojekt. De skulle inte bara vara imponerande­ konstruktioner i storlek och konstnärlig­ utsmyckning – överallt skulle det finnas­ en symbolik. Portarnas placering, valv­bågarnas form, fönstrens utseende, golvens mönster – allt räknades fram efter matematiska förhållanden och formgavs efter metaforer för livet och döden, gud och himlen.
I franska Chartres står den katedral som kanske är det bästa exemplet på denna i moderna ögon kanske lite överlastade symbolik.

Katedralen Notre-Dame de Chartres byggdes på rekordtiden 26 år. Bild: IBL

Katedralen Notre-Dame de Chartres byggdes på rekordtiden 26 år. Bild: IBL

Tal och geometriska former genomsyrar­ hela universum från mikrokosmos till makrokosmos. Det visste man redan under antiken. Man var då också övertygad om att gud, likt en ingenjör, använde sig av talförhållanden och passare när han konstruerade världen. Talen och geometrin bestämmer hur världen ska se ut och beskriver vetenskapens stora mysterier. Så långt är medeltidens kyrkomän och dagens matematiker tämligen eniga. De har båda stor vördnad för matematikens skönhet.

När man på 1100-talet skulle bygga­ katedralen i den franska staden­ Chartres sju mil sydväst om Paris hade man stora visioner. För att förstå dessa människors tankar måste vi först ta oss ur villfarelsen att medeltiden var en tid av mörker. Medeltiden var i många avseenden en upplysningens och det optimistiska entreprenörskapets tid. Människorna som byggde katedralen ansåg att de kunde manifestera guds väsen genom att bygga katedralen med hjälp av magiska tal och heliga geometriska former. På den tiden var en kyrka inte bara en byggnad för gudstjänster. Man hade betydligt större ambitioner än så. Man ville efterlikna guds skapelse.

 

Nyplatonistiska tankar

Bakom det materiella och världsliga såg man hierarkier av andra existenser. Man ansåg att bakom tingens yta fanns en högre verklighet. Den verkliga världen var bara ett svagt återsken av en mycket viktigare andlig värld.

 

Denna sommar har man ljusspel på katedralens fasader, en slags tvärvetenskaplig hybrid av medeltida byggnadskonst och 2000-talets LED-ljusteknik. Traditioner lever vidare och tekniken utvecklas. Bild: Skylight

Denna sommar har man ljusspel på katedralens fasader, en slags tvärvetenskaplig hybrid av medeltida byggnadskonst och 2000-talets LED-ljusteknik. Traditioner lever vidare och tekniken utvecklas. Bild: Skylight

Det var nyplatonistiska tankar som dök upp. Platon menade ju att sinne­världen som vi upplevde bara är en skugga av den verkliga idévärlden. I hans berömda liknelse sitter männi­skor i en grotta med ryggarna vända mot öppningen. Därutanför finns idévärlden. I ljuset därifrån kan människan bara se idévärldens sanna existenser som sinnevärldens bleka skuggor på grottans vägg.

Idag har många svårt att anamma ett sådant synsätt. Vår moderna vetenskap vill ju helst ge förklaringar som inte uppfattas som mystiska. Men de stora mysterierna var för medeltidens människor lika verkliga som naturlagarna är för oss. Och de försökte inte bara att förstå mysterierna, utan precis som vi gör med våra vetenskapliga upptäckter, ville de också använda sig av sina föreställningar i praktiken. För dem var tal och geometri verktyg som inte var olika våra dagars matematiska och fysikaliska formler.

På medeltiden var matematiken svaret på de stora gåtorna. Den var länken mellan gud och världen. Matematiken var ett magiskt verktyg som kunde avslöja alla hemligheter. Med ett sådant synsätt var det inte så märkligt att man byggde sina katedraler med matematik som grund. Chartres katedral är den kanske mäktigaste av dessa byggnader i den nyskapande gotiska epoken i europeisk arkitektur.

Katedralens västra fasad­ med de två osymmetriska tornen. Efter ett blixtnedslag byggdes det norra tornet om på 1500-­talet. Bild: Skylight

Katedralens västra fasad­ med de två osymmetriska tornen. Efter ett blixtnedslag byggdes det norra tornet om på 1500-­talet. Bild: Skylight

De okända mästarna

Man kan föreställa sig hur det slamrade och bullrade när katedralen byggdes. Timmermännens, snickarnas och stenhuggarnas hammarslag ekade mellan de kringliggande husen.

Byggnadsarbetare på träställningar skrek ut order till varandra. Med hissanordningar lyfte man stenar till murarna som stod högst uppe på ställningarna. Gnisslande vagnar med byggnadsmaterial drogs av hästar och lastades av vid byggplatsen.

Egentligen var det väl ungefär som vid ett bygge idag. Men i Chartres bedrevs bygget som ett hantverk och det måste ha varit hundratals arbetare som varje dag under de 26 byggnadsåren var verksamma vid bygget. En imponerande kort tid för ett sådant jätteprojekt. Notre Dame i Paris tog till exempel över 180 år att färdigställa.

Men ingen vet namnen på de som byggde katedralen i Chartres. Inte ens på de som stod högst i hierarkin, mästarna. Dessa mästare var mycket erfarna och skickliga. De var duktiga formgivare med inblick i aritmetikens och geometrins mysterier. De var konstnärer och ingenjörer. De löste praktiska problem med hållfasthet och fördelningen av tyngdkrafterna i byggnadskonstruktionen. Dessa mästare titulerade sig inte arkitekter. De kallade sig ”master of compasses­” eller på svenska ”passarmästare”. Passaren var nämligen deras viktigaste verktyg. Med den och en linjal kunde de konstruera en mängd mer eller mindre avancerade geometriska former­.

Hur 1100-talets byggmästare kunde beräkna hållfasthet och belastningar är en gåta. Kanske kunde de inte det, utan gick helt på erfarenhet. Bild: Skylight

Hur 1100-talets byggmästare kunde beräkna hållfasthet och belastningar är en gåta. Kanske kunde de inte det, utan gick helt på erfarenhet. Bild: Skylight

Murare och andra hantverkare

Under dessa mästare arbetade murare som blandade murbruk och staplade stenar, timmermän och snickare som byggde träkonstruktioner och byggnadsställningar. Skickliga stenhuggare högg ut enligt mästarens instruktioner. Grovarbetare bar byggnadsmaterial. Smeder smidde järnkonstruktioner och glasmålare fogade samman vackra fönster med blyinfattningar.

Katedralen i Chartres måste ha gjort starkt intryck på medeltidens männi­skor och det intrycket har bestått i nästan­ tusen år. Det måste betyda att mästarna som byggde katedralen lyckades med sin vision: att med matematisk­ exakthet, geometriska konstruktioner och musikaliska talförhållanden efterlikna skapelsen. Det arkitektoniska mästerverket gör nog lika starkt intryck på dagens sekulariserade människor som på medeltidens starkt religiösa människor. Om detta vittnar bland annat den stora mängden av turister som besöker katedralen.

Kvarteren kring katedralen i Chartres har fortfarande kvar en del av sin medeltida charm. Bild: Skylight

Kvarteren kring katedralen i Chartres har fortfarande kvar en del av sin medeltida charm. Bild: Skylight

Vid platsen där katedralen i Chartres ligger har det tidigare funnits flera kyrkor. Den första byggdes någon gång mellan 300- och 500-talet och är känd som Gallo-Romanska kapellet. Det förstördes av danska vikingar år 858. Tre kyrkor till byggdes sedan på samma plats. Samtliga blev förstörda av bränder. Det nuvarande gotiska mästerverket började byggas 1194 och det mesta var klart 1220, på rekordtiden 26 år. Det norra av de två tornen förstördes vid ett blixtnedslag år 1506. Det byggdes då om i flamboyantstil (flamliknande) av den lokale mästaren Jehan de Beauce.

Det nya tornet fick alltså en annan arkitektur och blev 113 meter högt, 8 meter högre än det gamla. Detta är bakgrunden till katedralens osymmetriska tornpar. Sedan 1979 står katedralen på Unescos världsarvslista.

Fakta: 
Musikens talförhållanden
Ettstrukna A med frekvensen 440 Hz (svängningar per sekund) och tvåstrukna A (en oktav högre) med frekvensen 880 Hz. Förhållandet mellan svängningarna är 1:2, det enklaste och mest harmoniska förhållandet mellan två olika toner.

Ettstrukna A med frekvensen 440 Hz (svängningar per sekund) och tvåstrukna A (en oktav högre) med frekvensen 880 Hz. Förhållandet mellan svängningarna är 1:2, det enklaste och mest harmoniska förhållandet mellan två olika toner.

Ljud är svängningar i luften. En ton kan åskådliggöras med en sinusformad kurva, där amplituden motsvarar ljudstyrkan och frekvensen motsvarar tonhöjden. Ju högre frekvens, det vill säga ju tätare mellan kurvorna, desto högre tonhöjd (ljusare ton). En frekvens med glest mellan kurvorna motsvarar­ en mörkare ton.

 

Två exakt lika toner ger ett unisont ljud, När en orkester spelar unisont hör man samma ton från alla instrument och ljudkurvorna ligger i fas. Två toner med en oktav emellan (ettstrukna och tvåstrukna A) ger en harmonisk svängning med förhållandet 1:2, tvåstrukna A har exakt dubbel så hög frekvens som ettstrukna A. En kvint låter också harmonisk med förhållandet 2:3 mellan frekvenserna. En kvart har förhållandet 3:4 och en sext 5:8. Alla dessa kombinationer uppfattar vi som musik eftersom de har en harmonisk ljudbild med proportionella svängningar. Komplexa tonproportioner uppfattar vi som oljud, knaster, gnissel eller brus. Det låter falskt och kan vara obehagligt för hjärnan. Samma tal som ger harmoniska musikaliska proportioner har man byggt in i katedralens arkitektur.

 

Mittskeppet är dubbelt så brett som avståndet mellan pelarna, alltså en oktav med förhållandet 1:2. Altaret delar mittskeppet i förhållandet 5:8, alltså som en musikalisk sext. Det finns flera exempel på musikens talförhållanden i katedralens arkitektur. På detta sätt har man försökt uppnå samma harmoni och positiva känslor som man får
av motsvarande musik.

Magiska tal och heliga geometriska former
Kvadraten, cirkeln och den liksidiga triangeln är starka symbolbärare för talen 1, 3 och 4. De utgör en stor del av grunden till så kallad helig geometri och kan omskriva och inskrivas i varandra och byggas på till vackra geometriska figurer.

Kvadraten, cirkeln och den liksidiga triangeln är starka symbolbärare för talen 1, 3 och 4. De utgör en stor del av grunden till så kallad helig geometri och kan omskriva och inskrivas i varandra och byggas på till vackra geometriska figurer.

Tal och geometriska figurer hade specifika betydelser under antiken och medeltiden. Betydelsen varierade naturligtvis mellan olika kulturer och religioner. Inom kristendomen betecknade talet 1 evigheten eller enheten som i den ende guden. 3 betecknade treenigheten. Talet 7 betecknade skapelsen eftersom den gjordes på så många dagar. Talet 10 låg bortom skapelsen (sju plus treenigheten).

 

Symbolen Flower of life eller Livets blomma ansågs ha en vitaliserande effekt och har använts inom många kulturer i tusentals år. Det är en geometrisk figur, bestående av 19 symmetriskt­ sammanfogade cirklar av samma radie.

Symbolen Flower of life eller Livets blomma ansågs ha en vitaliserande effekt och har använts inom många kulturer i tusentals år. Det är en geometrisk figur, bestående av 19 symmetriskt­ sammanfogade cirklar av samma radie.

Till många av dessa tal finns geometriska figurer som gör talen visuellt åskådliga. 1 ger cirkeln, en enhetlig figur som tillskrivits många magiska egenskaper. Till denna figur finns det irrationella talet π (pi) 3,1415... Siffran 3 ger en triangel, treenigheten åskådliggjord. 4 ger en harmonisk kvadrat som kan omskriva eller inskrivas i en cirkel. En liksidig triangel har också egenskaper som harmonierar med cirkeln och kvadraten. Det irrationella talet φ (fi) 1,618... och Fibonaccis talserie 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... står för gyllene snittet som vi berättade om i AoV nr 6 2012. Tal och geometri kan utvecklas i det oändliga och bygga vackra och fantasifulla figurer. Det finns på engelska ett begrepp som kallas ”sacred geometry”. På svenska kan vi kalla det ”sakral geometri” eller ”helig geometri”.

√2 och √3
Rita in höjden i en liksidig triangel. Konstruera en kvadrat på halva triangelns baslinje. Dra en diagonal i kvadraten. Förhållandet mellan kvadratens diagonal och triangelns höjd är √2:√3

Rita in höjden i en liksidig triangel. Konstruera en kvadrat på halva triangelns baslinje. Dra en diagonal i kvadraten. Förhållandet mellan kvadratens diagonal och triangelns höjd är √2:√3

Betrakta kuben med sidorna lika med 1. Dra en diagonal i en av sidoytorna. Enligt Pytagoras sats är diagonalen lika med √2, eftersom summan av kvadraten på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan (12 + 12 = √22). På likartat sätt kan vi räkna ut att kubens inre diagonal är lika med √3. Den är ju hypotenusa i en rätvinklig triangel med kateterna lika med 1 och √2.

Betrakta kuben med sidorna lika med 1. Dra en diagonal i en av sidoytorna. Enligt Pytagoras sats är diagonalen lika med √2, eftersom summan av kvadraten på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan (12 + 12 = √22). På likartat sätt kan vi räkna ut att kubens inre diagonal är lika med √3. Den är ju hypotenusa i en rätvinklig triangel med kateterna lika med 1 och √2.

En figur bestående av två cirklar med samma radie, där varje cirkelbåge passerar den andra cirkelns centrum, kallas på latin för vesica piscis, som närmast kan översättas till ’fiskblåsa’. De korsande ”diametrarna” i den mandelformade blåsan har förhållandet 1:√3

En figur bestående av två cirklar med samma radie, där varje cirkelbåge passerar den andra cirkelns centrum, kallas på latin för vesica piscis, som närmast kan översättas till ’fiskblåsa’. De korsande ”diametrarna” i den mandelformade blåsan har förhållandet 1:√3

Labyrinten
Glasfönstret västra rosen ligger lika högt över golvet vid västra porten, som avståndet från västra porten till labyrinten. Dessutom har deras cirklar samma diameter. Bild: Skylight

Glasfönstret västra rosen ligger lika högt över golvet vid västra porten, som avståndet från västra porten till labyrinten. Dessutom har deras cirklar samma diameter. Bild: Skylight

En vandring i katedralens labyrint har tre symboliska delar, rening, mottagande och återvändande. Labyrinten i Chartres omsluts av en cirkel som kan symbolisera evigheten­. När man skapade cirklar under antiken använde man sig av approximationen 22:7 (3,1428) för π.

 

Möjligen hade man vid bygget av katedralen i Chartres börjat använda sig av den mer exakta kvoten 399:127 som motsvarar 3,141732. Labyrinten har 11 slingor och det har säkert någon betydelse, men ingen vet säkert vad. Det har spekulerats en hel del i tal och siffror när det gäller labyrinten. Hela vandringens längd är till exempel 261,5 meter, vilket motsvarar 888 romerska fot. Och det har tillskrivits flera olika tolkningar.

Skiss över labyrinten på golvet i Chartres katedral. En vandring in och ut i labyrinten symboliserar en pilgrimsvandring med rening, mottagande och återvändande.

Skiss över labyrinten på golvet i Chartres katedral. En vandring in och ut i labyrinten symboliserar en pilgrimsvandring med rening, mottagande och återvändande.

 

Men man får nog vara försiktig med att ta till sig alla förklaringar. Ett förhållande som knappast är någon slump är att labyrintens centrum ligger 37,75 meter från västra porten. 37,75 meter över golvet vid västra porten har också den cirkulära glasmålningen västra rosen sitt centrum. Och dess diameter är lika lång som labyrintens, 12,5 meter.

Portarna
En femtedels spetsvalvbåge kan konstrueras av två cirkelbågar med olika centrum.

En femtedels spetsvalvbåge kan konstrueras av två cirkelbågar med olika centrum.

Katedralen i Chartres har stora ingångar i västra, norra och södra fasaderna. Västra fasaden med de två tornen har tre portar. Den i mitten är störst och används bara vid processioner vid särskilda tillfällen. De två mindre portarna på var sida används av vanliga gudstjänstbesökare och av turister. Bredden mellan den stora porten förhåller sig till bredden av de två mindre som 10:7. Det förhållandet är en vanlig medeltida approximation för √2. Det är väl osäkert om byggmästarna använde sig just av den matematiska förebilden eller om portarna bara fått dessa proportioner av skönhetsskäl. I så fall är det ett ändå ett märkligt sammanträffande.

En femtedels spetsvalvbåge i södra porten. Bild: Skylight

En femtedels spetsvalvbåge i södra porten. Bild: Skylight

 

Mängder av religiösa och mytologiska och verkliga personer ramar in de tre portarna. Den högra porten omges av de sju fria konsternas företrädare. Antikens och medeltidens sju fria konster var aritmetik, geometri, musik, astronomi, grammatik, dialektik och retorik. Bland dessa syns i portkanten bland andra Pythagoras som sitter och konstruerar någon geometrisk figur med en passare. Ovanför honom sitter Musica med en harpa. Geometri och musik ansågs tydligen ligga nära varandra­ vid den här tiden. Portaler hade under romartiden oftast halvcirkelformade valv. Under gotiken hade man fått influenser från korsriddare som tog med sig en del muslimsk arkitektur till Västeuropa. Moskéerna de såg där hade ofta spetsiga valvbågar. Dessa ansågs ha ett annat och högre symbolvärde än den halvcirkelformade valvbågen.

Symbolik i valvbågar. Den gamla romerska halvcirkelvalvbågens kretsloppssymbolik ersattes under gotiken av spetsvalvbågens högre symbolvärden, troligen en influens från moskéarkitektur som imponerat på korsfararna.

Symbolik i valvbågar. Den gamla romerska halvcirkelvalvbågens kretsloppssymbolik ersattes under gotiken av spetsvalvbågens högre symbolvärden, troligen en influens från moskéarkitektur som imponerat på korsfararna.

Glasmålningarna
De 167 glasmålningarna med en sammanlagd yta på över 2 600 kvadratmeter lyser starkt, men det totala ljusinsläppet blir ändå inte så stort på grund av de starka färgerna­. Det gör att katedralens inre får ett mjukt och vackert färgat ljus. Bild: Skylight

De 167 glasmålningarna med en sammanlagd yta på över 2 600 kvadratmeter lyser starkt, men det totala ljusinsläppet blir ändå inte så stort på grund av de starka färgerna­. Det gör att katedralens inre får ett mjukt och vackert färgat ljus. Bild: Skylight

Arkitekturen har anpassats till att ge plats för stora glasmålningar. I den övre delen av katedralen har man stagat upp byggnaden med yttre strävbågar för att få plats med större fönster. Hur man på den tiden kunde beräkna strävbågarnas bärighet är en gåta. Kanske gick man ibland på känsla när det gäller hållfasthetsberäkningar. De konstruktioner som inte höll måttet rasade samman och man lärde sig den hårda vägen. De funktionsdugliga konstruktionerna kan vi beundra idag, nästan tusen år senare. En slags arkitekturens darwinism där de starkaste och bäst anpassade konstruktionerna överlever.

 

De flesta katedralerna hade vid den här tiden både vanliga fönster och glasmålningar. De vanliga fönstren släppte ibland in så mycket ljus att det förtog glasmålningarnas lyster. I Chartres katedral har så gott som alla 167 fönster starkt färgade glasmålningar. Den totala glasmålningsytan är över 2 600 kvadratmeter. Katedralens inre känns förhållandevis mörk på grund av de tätt färgade glasmålningarna och det får som effekt att de tycks lysa med ett starkare ljus.

Före boktryckarkonsten fungerade glasmålningarna som ett bibliotek fyllt av berättelser och myter som förmedlade kunskap till kyrkobesökarna. Bild: Skylight

Före boktryckarkonsten fungerade glasmålningarna som ett bibliotek fyllt av berättelser och myter som förmedlade kunskap till kyrkobesökarna. Bild: Skylight

 

Berättelser i bild

 

När katedralen byggdes var det ännu 300 år kvar till boktryckarkonsten. Berättelser och myter var alltså inte något som gemene man kunde läsa i böcker. Berättandet var en muntlig tradition och i viss mån berättades också i bild som i katedralens glasmålningar. De innehåller mängder av berättelser och myter som förmedlade kunskap till kyrkobesökarna.

 

Glasmålningarna räddades från andra världskrigets förödelse genom att man monterade ner dem 1939, strax före tyskarnas invasion av Frankrike. Glasen förvarades under kriget i säkerhet på olika platser på landsbygden utanför Chartres och sattes tillbaka efter kriget med nya blyinfattningar.

Genom att staga upp byggnaden med yttre strävbågar i den övre delen av byggnadskonstruktionen har man fått plats för större fönster med glasmålningar. Bild: Skylight

Genom att staga upp byggnaden med yttre strävbågar i den övre delen av byggnadskonstruktionen har man fått plats för större fönster med glasmålningar. Bild: Skylight

Material från
Allt om Vetenskap nr 7 - 2012

Mest lästa

Fler nyheter

Fler nyheter